Оптимизация рецептурного состава кондитерских изделий

Рецептурный состав кондитерских изделий с определенными вкусовыми достоинствами и пищевой ценностью разрабатывается на основе всесторонних лабораторных и органолептических исследований качества сырья и готовой продукции.
Лабораторными и органолептическими методами определяются химические, физические и вкусовые свойства составных компонентов и готовой продукции на их основе. При подборе компонентов учитывается множество самых разнообразных качественных и количественных характеристик исходного сырья.
Построение математических моделей задач по определению рецептуры сырья позволяет упростить вычислительный процесс и получить продукт с определенными количественными и качественными характеристиками.
Центральное композиционное планирование эксперимента (ЦКП) в последнее время получило широкое распространение при оптимизации рецептур кондитерских изделий. Различают два вида ЦКП - ортогональное и ротатабельное (ЦКРП).
Уравнение регрессии при ЦКРП представляют в виде полинома второго порядка:

у=b0+b1X1+b2X2+... +bnXn+b12Х1X2 + ...
...+b(n-1)nX(n-1)Xn+b11X1²+b22X2²+...+bnnXn²,

где b0, b1,...,bn,b12,...,b(n-1)n,b11,..,bnn - коэффициенты уравнения регрессии.
Получить ЦКРП можно достройкой некоторого количества точек к «ядру», образованному линейным планом типа 2ⁿ.
Количество опытов (N) при ЦКРП определяется по формуле:

N=2ⁿ+2n+n₀,

где 2ⁿ - количество опытов, образующих полный факторный эксперимент;
2n - число «звездных» точек в факторном пространстве, имеющих координаты {±α, 0, 0,..., 0), (0, ±α, 0,..., 0),..., (0, 0,..., ±α);
n₀ - опыт в центре планирования, т.е. в точке факторного пространства с координатами (0,0,..., 0);
α - «звездное» плечо.
Если с помощью полного факторного эксперимента (ПФЭ) не удаётся получить адекватного математического описания, то к нему добавляют опыты в «звездных» точках и в центре плана, а полученную при этом композицию используют для построения математического описания процесса в виде многочлена второй степени. Отсюда и произошло название метода - центральное композиционное планирование.
Этот метод позволяет получать более точное математическое описание поверхности отклика по сравнению с ортогональным ЦКП, что достигается путем увеличения числа опытов в центре плана и специальным выбором величины α. В табл. 16 приведены основные характеристики матриц ротатабельного планирования.

Таблица 16. Характеристики матриц ЦКРП второго порядка

Число факторов N	Число опытов в центре пана N₀	Число опытов факторного планирования Nₓ	Число опытов в «звёздных» точках Nₐ	Общее число опытов N	Величина «звёздного» плеча α
2	5	4	4	13	1,414
3	6	8	6	20	1,680
4	7	16	8	31	2,000
5	10	32	10	52	2,378
6	15	64	12	91	2,828
7	21	128	14	163	3,333

Рис. 1. Графическая интерпретация центрального
композиционного ротатабельного планирования

Величина «звездного» плеча α определяется:

Так, для двух факторов центральный композиционный план второго порядка может быть представлен схемой (рис. 1) и матрицей планирования (табл. 17).

Таблица 17. Матрица ЦКРП двухфакторного эксперимента

Система опытов	№ опыта	X1	X2	X1X2	X²1	X²2	yₓ
ПФЭ типа 2²	1	-1	-1	+1	+1	+1	y1
	2	+1	-1	-1	+1	+1	y2
	3	-1	+1	-1	+1	+1	y3
	4	-1	+1	+1	+1	+1	y4
Опыты в «звёздных» точках	5	-α	0	0	α²	0	y5
	6	+α	0	0	α²	0	y6
	7	0	-α	0	0	α²	y7
	8	0	+α	0	0	α²	y8
Опыты в центре плана	9	0	0	0	0	0	y9
	10	0	0	0	0	0	y10
	11	0	0	0	0	0	y11
	12	0	0	0	0	0	y12
	13	0	0	0	0	0	y13

К полному факторному эксперименту типа 2² (точки 1, 2, 3 и 4) добавляют некоторое число опытов в центре плана (точка 9) и четыре «звёздных» точки 5, 6, 7 и 8 с координатами (+α; 0); (-α;0); (0;+α); и (0;-α).
При ЦКРП для вычисления коэффициентов уравнения регрессии и соответствующих оценок дисперсий находят следующие константы:

На основании результатов эксперимента находят суммы:

Формулы для расчёта коэффициентов регрессионного уравнения имеют вид:

Оценки дисперсий в определении коэффициентов регрессионного уравнения находят по формулам:

где S²y - дисперсия воспроизводимости, которую определяют по результатам опытов в центре плана

где u - номер опыта в центре плана (u=1, 2,...,n0);
yu - значение функции отклика в u-м опыте в центре плана;
y0 - среднее значение функции отклика в n0 опытах в центре плана.
Вычислив коэффициенты уравнения регрессии, с помощью t-критерия Стьюдента устанавливают их значимость. После этого, исключив из уравнения незначимые коэффициенты, получают математическую модель.
Адекватность полученной модели устанавливают с помощью критерия Фишера по формуле:

где S²αυ - дисперсия адекватности, которую рассчитывают как

Уравнение регрессии адекватно описывает результаты эксперимента, если выполняется условие

Fp<Fm,

где Fт - табличное значение критерия Фишера для принятого уровня значимости р и числа степеней свободы f1 и f2, которые рассчитываются по формулам:

Если гипотеза об адекватности отвергается, необходимо перейти к более сложной форме уравнения регрессии с использованием планирования третьего порядка или (если это возможно) провести эксперимент с меньшим интервалом варьирования факторов, или изменить основные уровни факторов.

Пример. Для построения математической модели, отражающей зависимость формоудерживающей способности тестовой заготовки крекерного теста у после формования от массовой доли порошкообразного полуфабриката х1 (%) и температуры х2 (°С) теста было проведено ЦКРП (табл. 18 и 19).

Таблица 18. Характеристики планирования

Параметры	х1	х2
Основной уровень	45	36
Интервал варьирования	15	6
Верхний уровень	60	42
Нижний уровень	30	30
Нижняя «звёздная» точка	23,8	27,5
Верхняя «звёздная» точка	66,2	44,5

Таблица 19. Матрица ЦКРП

№ опыта	X1	X2	X1X2	X²1	X²2	yₓ	yₓⁿ
1	-1	-1	+1	+1	+1	1,30	1,28
2	+1	-1	-1	+1	+1	2,51	2.59
3	-1	+1	-1	+1	+1	2,05	2,13
4	+1	+1	+1	+1	+1	3,90	3,84
5	-1,41	0	0	1,41²	0	1,81	1,76
6	+1,41	0	0	1,41²	0	3,26	3,24
7	0	-1,41	0	0	1,41²	1,40	1,35
8	0	+1,41	0	0	1,41²	3,50	3,49
9	0	0	0	0	0	5,00	5,06
10	0	0	0	0	0	4,91	5,06
11	0	0	0	0	0	5,15	5,06
12	0	0	0	0	0	5,07	5,06
13	0	0	0	0	0	5,21	5,06

Общее количество опытов N=13, количество опытов в центре плана n0=5, количество факторов n=2.
По формулам вычисляем коэффициенты С, В, А:

Значения сумм, найденные по формулам, соответственно равны S0=45,07; S1=4,19; S2=6,02; S11= 19,90; S22=19,56; S12=0,64.
Используя формулы, вычисляем коэффициенты регрессионного уравнения:

Предварительно рассчитав значение функции отклика в центре плана по результатам пяти опытов (y0= 5,06) по формуле, определяем дисперсию воспроизводимости:

Находим оценки дисперсий в определении коэффициентов регрессионного уравнения:

Значимость рассчитанных коэффициентов устанавливаем в соответствии с критерием Стьюдента:

Сравнение каждого из расчетных значений критерия Стьюдента с табличным (tт=1,7459) показало, что условие выполняется для всех коэффициентов, за исключением коэффициента b12 (tm≈tm^b¹²). Это говорит о малой значимости
данного коэффициента, следовательно, уравнение регрессии можно представить в следующем виде:

у=5,06+0,52X1+0,757X2-1,28X1²-1,32X2².

Чтобы проверить адекватность уравнения регрессии, определим расчетные значения функции отклика. Для первого опыта

для остальных опытов - аналогично в соответствии с матрицей планирования (табл. 19).
Вычисляем дисперсию адекватности S²ад=0,026.
Расчетное значение критерия Фишера по формуле

Fp=0,0264/0,014=1,89.

Табличное значение критерия Фишера при уровне значимости р=0,05 и числе степеней свободы f1=3 и f2=4 равно Fт=6,59. Сравнение расчетного значения критерия Фишера и табличного показывает, что условие выполняется и уравнение регрессии адекватно экспериментальным данным.

Приведение уравнения регрессии к канонической форме

Уравнение регрессии, полученное с помощью ортогонального или ротатабельного ЦКП, позволяет не только предсказать значение функции отклика для заданных условий проведения эксперимента, но и даёт информацию о форме поверхности отклика. Исследование этой поверхности необходимо для выбора оптимального режима технологического процесса.
Для изучения конфигурации поверхности отклика уравнение регрессии приводят к канонической форме, которая имеет вид:

Формула

где У - функция отклика;
Ys - значение функции отклика в новом начале координат;
Z1, Z2, . . . , Zn - новые переменные;
В11, В22, ..., Вnn - коэффициенты канонической формы.
Приведение уравнения к канонической форме соответствует переносу начала координат в новую точку S факторного пространства и повороту координатных осей на некоторый угол φ.

Чтобы привести уравнение к каноническому виду, следует найти частные производные функции отклика по всем факторам, приравнять их к нулю и решить полученную систему уравнений:

Если эта система имеет решение (обозначим его Х1s, ..., Хns), то поверхность называется центральной, а числа Х1s, ..., Xns являются координатами её центра. Подставляя Х1s, ..., Xns в уравнение, находят Ys.
Решая характеристическое уравнение

где bij=bji, находят его корни В11, ..., Вnn. Они являются коэффициентами искомой квадратичной формы. Корни найдены правильно, если выполняется условие

Рассмотрим методику определения зависимости между переменными X1,..., Хn и Z1..., Zn. Сначала решают систему уравнений:

Другими словами, систему решают n раз, каждый раз при новом значении Вii. В результате решения находят:

Следует отметить, что решение может быть получено только с точностью до числового множителя.
Далее вычисляют величины:

Очевидно, при каждом значении i=1,2,..., n выполняется условие нормировки:

Искомая зависимость между переменными имеет вид:

При числе факторов n>2 приведение уравнения к каноническому виду требует значительного объема вычислений, поэтому его следует осуществлять с помощью ЭВМ.
Угол поворота φ новых координатных осей относительно старых определяют по формуле:

Угол поворота φ новых координатных осей относительно старых

Для двух факторов соотношение между переменными X1, X2 и Z1, Z2 в ряде случаев целесообразно представить в виде:

Геометрический образ, соответствующий функции отклика у, называют поверхностью отклика (рис. 2). Координатное пространство, по осям которого отложены факторы, называют факторным пространством.

Рис. 2. Поверхность отклика

Для удобства рассмотрения поверхность отклика может быть представлена на
факторной плоскости (х1, х2) линиями постоянных значений функции отклика (рис. 3).
На рис. 3 а поверхность отклика имеет вид «вершины» и соответствует области значений факторов, где расположен максимум величины у. Очевидно, аналогичный вид имеют линии постоянного уровня и в случае минимума функции у.
Поверхность, изображенная на рис. 3 б, характеризует плавное возрастание функции отклика с уменьшением фактора х1 и увеличением х2. Такую поверхность принято называть «стационарным возвышением».
«Хребтом» называется поверхность, показанная на рис. 3 в. Его вершина соответствует наибольшим значениям функции отклика. Аналогично располагаются линии постоянных значений у и в случае «оврага», дно которого соответствует минимальным значениям функции отклика.
Наконец, на рис. 3 г изображена поверхность, называемая «седлом». На двух ее участках наблюдается возрастание функции отклика. а на двух других - убывание.
Следует отметить, что на практике встречаются поверхности отклика и с более сложной конфигурацией.
Если число факторов больше двух, то для изображения поверхности отклика пользуются её двумерными сечениями. С этой целью каждый раз фиксируют все факторы, кроме двух.

Рис. 3. Типы поверхностей отклика

Все многообразие поверхностей отклика, описываемых уравнением, можно разделить на три класса.
К первому - относят поверхности, имеющие экстремум (рис. 3 а). В этом случае все коэффициенты канонической формы имеют одинаковые знаки, а центр поверхности находится вблизи центра эксперимента. Анализ таких поверхностей заканчивается после приведения уравнения регрессии к канонической форме. Исследователю необходимо только поставить несколько опытов вблизи центра поверхности и убедиться, что значения функции отклика, предсказанные уравнением регрессии, достаточно хорошо совпадают с экспериментальными данными.
Во второй - входят поверхности типа «стационарного возвышения» (рис. 3 б). В этом случае некоторые коэффициенты канонической формы близки к нулю.
К третьему - относят поверхности типа «седло» (рис. 3 г). Они характеризуются тем, что коэффициенты канонической формы имеют разные знаки, а центр поверхности находится поблизости от центра опыта.
Имея дело с поверхностями отклика типа «стационарное возвышение» или «седло», исследователь должен. пользоваться методами вычислительной математики и средствами вычислительной техники для нахождения условного экстремума
критерия оптимальности с учетом ограничений, наложенных на влияющие факторы и остальные функции отклика.

Пример. Для построения математической модели, отражающей зависимость эффективной вязкости помадной массы у (Па*с) от температуры х1 (°С) и массовой доли влаги х2 (%) при значении градиента скорости у =5с-¹ было использовано ЦКРП, характеристики которого представлены в табл. 20.
Эксперименты проводили согласно матрице планирования с применением рандомизации. Каждый опыт дублировали два раза. В табл. 21 даны средние значения функции отклика по результатам двух параллельных опытов.

Таблица 20. Характеристики планирования

Параметры	х1	х2
Основной уровень	30,0	10,0
Верхний уровень	35,0	12,0
Нижний уровень	25,0	8,0
Нижняя «звёздная» точка	37,05	12,82
Верхняя «звёздная» точка	22,95	7,18
Интервал варьирования	5,0	2,0

Таблица 21. Матрица ЦКРП

№ опыта	х1	х2	Функция отклика
1	-1	-1	718,21
2	+1	-1	412,74
3	-1	+1	639,01
4	+1	+1	370,91
5	-α	0	773,01
6	+α	0	366,14
7	0	-α	540,55
8	0	+α	455,43
9	0	0	475,78
10	0	0	474,00
11	0	0	475,09
12	0	0	476,14
13	0	0	476,13

Обработку результатов ЦКРП проводили по типовой методике. При этом были рассчитаны коэффициенты уравнения регрессии, определена значимость каждого из них. Установлено, что в соответствии с критерием Стьюдента все коэффициенты являются значимыми. Адекватность полученного уравнения регрессии устанавливали по критерию Фишера. Сравнение расчетного значения критерия Фишера с табличным показало, что уравнение регрессии адекватно описывает поверхность отклика.
Полученное уравнение регрессии в кодированных переменных выглядит следующим образом:

Уравнение регрессии позволяет не только предсказать значения функции отклика (эффективной вязкости) для заданных условий проведения эксперимента, но и даёт информацию о форме поверхности отклика. Исследование этой поверхности необходимо для выбора оптимальных значений температуры и влажности помадной массы.
Приведём уравнение к каноническому виду.
Дифференцируя его по Х1 и Х2, составим систему алгебраических уравнений:

Решая эту систему относительно Х1 и Х2, вычислим координаты центра поверхности: Х1s = 1,44 и Х2s = 0,73.
Подставляя найденные значения в исходное уравнение, рассчитаем значение функции отклика в центре поверхности Уs=360,36.
Составим характеристические уравнения в виде:

решая которое, находим его корни В11=48,2 и В22=10,83.
Уравнение регрессии в канонической форме примет вид:

Как видно из этого уравнения, коэффициенты канонической формы имеют положительные одинаковые знаки. Это даёт основание предполагать, что исследуемая поверхность является экстремальной и имеет вид «впадины».
Перейдём к нахождению соотношений между координатами Х1, Х2 и Z1, Z2. Составим для этого систему уравнений:

решая которое относительно m11 и m12, получим m11=7,96*m12.
Решение данной системы уравнений возможно только с точностью до числового множителя, поэтому, полагая m12=1, определяем m11=7,96.
В соответствии с формулой, вычисляем величины:

Составим вторую систему уравнений:

решая которое относительно m2 и m22, получим m21=0,12*m22.
Примем m22=1, находим m21=0,12.
По формуле определяем величины:

Представим связь между координатами в виде:

или после преобразований:

Угол поворота φ новых координатных осей относительно старых в соответствии с формулой равен φ=7,01. Он положительный, следовательно, координатные оси при
каноническом преобразовании повернуты против часовой стрелки.

Пример. Выбор оптимального соотношения основных рецептурных компонентов для приготовления карамели «мягкой» с вязко-пластичными свойствами проводили в три этапа. На первом этапе было проведено центральное композиционное
ротатабельное планирование (ЦКРП), в ходе которого каждый из факторов поочередно принимал одно из пяти значений (табл. 7).
В качестве основных факторов были выбраны: Х1 - массовая доля помадной массы, %; Х2 - массовая доля патоки, %; Х3 - массовая доля кокосового масла, %.

Таблица 22. Характеристика ЦКРП

Характеристики планирования	Факторы
	Кодированные значения			Натуральные значения
	Х1	Х2	Х3	Спм, %	Сп, %	Скм, %
Основной уровень (0)	0	0	0	47,5	8,0	5,5
Верхний уровень (+1)	+1	+1	+1	50,0	10,0	7,0
Нижний уровень (-1)	-1	-1	-1	45,0	6,0	4,0
Верхняя «звёздная» точка (+α)	+1,68	+1,68	+1,68	51,7	11,36	8,02
Нижняя «звёздная» точка (-α)	-1,68	-1,68	-1,68	43,3	4,64	2,98
Интервал варьирования	-	-	-	2,5	2,0	1,5

Критериями оценки влияния факторов служили У1 - пластическая прочность, кПа; У2 - содержание фракций кристаллов в карамельной массе (от 0 до 5 мкм).
Эксперименты проводили в соответствии с матрицей планирования (табл. 23) и при этом применяли рандомизацию опытов с использованием таблиц случайных чисел. Каждый опыт дублировали два раза. Обработку результатов ЦКРП проводили по типовой методике.

Таблица 23. Матрица ЦКРП

№ п/п	Кодированные значения факторов			Натуральные значения факторов			Функция отклика
№ п/п	Х1	Х2	Х3	Спм, % (мас.)	Сп, % (мас.)	Скм, % (мас.)	у1, кПа	у2, % (от 0 до 5 мкм)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	-1	-1	-1	45,0	6,0	4,0	170,8	30
2	+1	-1	-1	50,0	6,0	4,0	142,5	13
3	-1	+1	-1	45,0	10,0	4,0	161,2	26
4	+1	+1	-1	50,0	10,0	4,0	131,1	7
5	-1	-1	+1	45,0	6,0	7,0	164,8	36
6	+1	-1	+1	50,0	6,0	7,0	126,3	8
7	-1	+1	+1	45,0	10,0	7,0	156,8	26
8	+1	+1	+1	50,0	10,0	7,0	133,1	17
9	-α	0	0	43,3	8,0	5,5	213,7	42
10	+α	0	0	51,7	8,0	5,5	158,6	35
11	0	-α	0	47,5	4,64	5,5	124,2	61
12	0	+α	0	47,5	11,36	5,5	116,7	40
13	0	0	-α	47,5	8,0	2,98	120,6	52
14	0	0	+α	47,5	8,0	8,02	118,5	44
15	0	0	0	47,5	8,0	5,5	119,9	42
16	0	0	0	47,5	8,0	5,5	123,4	45
17	0	0	0	47,5	8,0	5,5	120,3	54
18	0	0	0	47,5	8,0	5,5	125,0	55
19	0	0	0	47,5	8,0	5,5	125,3	51
20	0	0	0	47,5	8,0	5,5	122,7	50

Расчёт коэффициентов уравнений регрессии и проверка значимости регрессионных коэффициентов в соответствии с критерием Стьюдента показали, что значимым при 5%-ном уровне значимости для прочности карамельной массы оказались эффекты Х1, Х2, Х3, Х1², Х2² И Х3², а для содержания фракций кристаллов в карамельной массе (от 0 до 5 мкм) - эффекты Х1, Х2, Х1², Х2² И Х1Х2. В результате этого уравнения, адекватно описывающие зависимости прочности и дисперсности частиц карамельной массы от изучаемых факторов, имеют следующий вид:

Зависимость прочности и дисперсности частиц карамельной массы от изучаемых факторов

Статистический анализ уравнения показал, что фактор Х3 не оказывает какого-либо существенного влияния на прочность карамельной массы, в связи с чем было принято решение зафиксировать фактор Х3 на основном уровне. Тогда уравнение принимает вид:

Уравнения регрессии позволяют не только предсказать значения прочности (у1) и содержания фракций кристаллов от 0 до 5 мкм (у2) в карамельной массе, но и дают
информацию о форме поверхности отклика. Исследование этой поверхности необходимо для выбора оптимальных значений изучаемых факторов.
В связи с этим второй этап заключался в приведении исходных уравнений регрессии к каноническому виду. Каноническая форма уравнения регрессии второго порядка
имеет вид:

где У - значение функции отклика в новой системе координат; Уs - значение функции отклика в новом начале координат (в центре поверхности отклика); Z1, Z2 - новые переменные, связанные с переменными Х1 и Х2 некоторыми соотношениями Х1=f1(Z1,Z2), и Х2=f2(Z1, Z2); B11 и B22 - коэффициенты канонической формы.
Приведение уравнения регрессии к канонической форме соответствует переносу начала координат в новую точку факторного пространства с координатами (Х1s, Х2s, Уs) и повороту координатных осей на некоторый угол φ.
В результате решения уравнений были получены канонические коэффициенты (табл. 24).

Таблица 24. Координаты центра поверхности и значения
канонических коэффициентов

Х1s	X2s	Ys	B11	B22
0,3	2,78	115,16	22,56	0,71

Приведем уравнение к каноническому виду.
Дифференцируя уравнение по Х1, и Х2 составим систему алгебраических уравнений:

Решая систему уравнений относительно Х1 и Х2, определим координаты центра поверхности: Х1s=0,3 и Х2s=2,78.
Подставляя найденные значения в уравнение, определим значение функции отклика в центре поверхности Ys=115,16.
Для нахождения канонических коэффициентов составим характеристическое уравнение вида:

Подставляя в уравнение значения коэффициентов b11, b22 и b12 из уравнения регрессии, раскрывая определитель, получим квадратное уравнение

В²-23,28В+16,04=0,

решением которого являются корни В11=22,56 и В22=0,71.
Проверка условия

свидетельствует о правильности вычислений канонических коэффициентов.
Следовательно, уравнение регрессии в канонической форме примет вид:

У-115,16=22,56Z1²+ 0,71Z2².

Как видно из уравнения, коэффициенты канонической формы имеют положительные одинаковые знаки. Это дает основание считать, что исследуемая поверхность отклика является экстремальной и имеет вид «впадины».
Для нахождения угла поворота φ новых координатных осей относительно старых вычисляем величину:

Нахождение угла поворота φ новых координатных осей относительно старых

Подставляя значения коэффициентов b11, b22 и b12 в уравнение, определяем угол поворота координатных осей φ=0.
Соотношение между координатами Х1, Х2 и Z1, Z2 представим в виде:

Подставляя в последние выражения значения величин Х1s, X2s, φ получим окончательно соотношения:

X1=Z1+0,3
Х2=Z2+2,78.

Кривые равных значений прочности карамельной массы (Y=118 кПа, У=120 кПа и У=125 кПа), построенные в координатах Х1-Х2, представлены на рис. 4; пунктирной линией на рисунке обозначена экспериментально исследуемая область.
Графический анализ показал, что поверхность отклика является экстремальной и имеет вид «впадины» (коэффициенты канонического уравнения имеют одинаковые положительные знаки). Линии равного уровня поверхности отклика представляют собой эллипсы, вытянутые вдоль оси Х2; это подтверждается также тем, что значение коэффициента В22, входящего в каноническое уравнение, во много раз
превышает значение коэффициента В11.
Приведем уравнение к каноническохму виду.
Дифференцируя уравнение по X1 и Х2, составим систему алгебраических уравнений:

Решая систему уравнений относительно Х1 и Х2, определим координаты центра поверхности: X1s=-0,54 и X2s=-0,08.
Подставляя найденные значения в уравнение, определим значение функции отклика в центре поверхности Ys=47,09.

Рис. 4. Кривые равных значений прочности дисперсности частиц «мягкой» карамельной массы (числа на кривых - значение прочности, кПа и содержание фракций кристаллов сахарозы от 0 до 5 мкм, %)

Для нахождения канонических коэффициентов составим характеристическое уравнение, после подстановки в которое значений коэффициентов b11, b22 и b12 из уравнения регрессии, раскрывая определитель, получим уравнение:

В²+10,79В+28,09=0,

решением которого являются корни В11=-6,4; В22=-4,39.
Проверка условия:

-6,37-4,42≈-6,4-4,39

У-47,09=-6,42Z1²-4,39Z2².

Как видно из уравнения, коэффициенты канонической формы имеют отрицательные одинаковые знаки. Это дает основание считать, что исследуемая поверхность отклика является экстремальной и имеет вид «вершины».
Угол поворота φ новых координатных осей относительно старых, рассчитанный по выражению, составляет φ=7,01. Угол поворота положительный, следовательно
координатные оси (Z1-Z2) повернуты относительно старых координатных осей (Х1-Х2) против часовой стрелки.
Подставляя в выражения значения величин Х1s, X2s, φ, получим соотношения между координатами X1, X2 и Z1, Z2

Кривые равных значений дисперсности частиц карамельной массы (У = 45 мкм, У = 40 мкм и У = 35 мкм), построенные в координатах Х1 - Х2, представлены на рис. 4;
пунктирной линией на рисунке обозначена экспериментально исследуемая область.
Графический анализ показал, что поверхность отклика является экстремальной и имеет вид «вершины» (коэффициенты канонического уравнения имеют одинаковые отрицательные знаки). Линии равного уровня поверхности отклика представляют собой эллипсы, близкие по своей форме к окружностям; это подтверждается также тем, что значение коэффициента В22, входящего в каноническое уравнение, незначительно отличается от значения коэффициента В11.
Третий этап заключается в выборе оптимального соотношения рецептурных компонентов (факторы Х1, Х2 и Х3) для приготовления карамели.
При этом графически была рассмотрена «компромиссная» задача, сформулированная следующим образом. Располагая математическими моделями в виде уравнений регрессии, или каноническими формами уравнений регрессии, требуется определить такие значения факторов Х1 Х2 и Х3, которые обеспечивали бы заданную прочность (у1) и дисперсность (у2) частиц карамельной массы. При этом на факторы накладываются ограничения, продиктованные технологическим регламентом приготовления карамельной массы (табл. 22): 43,3≤Х1≤51,7 (%); 4,64≤Х2≤11,36 (%); 2,98≤Х3≤8,02 (%).
Предварительные экспериментальные исследования показали, то параметры оптимизации у1 и у2, определяющие структуру и вкусовые качества карамели, должны находиться в диапазонах 118≤у1≤125 (кПа) и 35≤у2≤45 (мкм).
Рассматривая задачу графически (рис. 4), оптимальным следует считать режим, которому соответствует точка на факторной плоскости, полученная пересечением линий равного уровня прочности и дисперсности частиц карамельной массы заданных значений.
Для достижения заданных значений у1 и у2 возможна реализация нескольких режимов, например, а, б, ..., м (см. рис. 4, табл. 25).

Таблица 25. Значения функций отклика в заданных режимах

Точка	Кодированные значения факторов			Натуральные значения факторов			Функция отклика
Точка	Х1	Х2	Х3	Спм, %	Сп, %	Скм, %	у1, кПа	у2, мкм
а	-	1,5	0	46,4	11,0	5,5	125	35
б	0,41	1,42	0	47,0	10,8	5,5	120	35
в	-0,2	1,25	0	47,6	10,5	5,5	118	35
г	0,05	1,0	0	48,2	10,0	5,5	118	35
д	0,3	0,52	0	48,5	9,0	5,5	120	35
е	0,41	0	0	49,0	8,0	5,5	125	35
ж	0,6	1,0	0	46,5	10,0	5,5	125	40
з	-	0,75	0	47,2	9,5	5,5	120	40
и	0,38	0,28	0	48,3	8,5	5,5	120	40
к	-0,1	0,31	0	46,8	8,6	5,5	125	35
л	0,32	-0,48	0	47,2	7,0	5,5	125	35
м	-	-0,74	0	48,3	6,5	5,5	125	40
	0,28
	-0,1
	0,32

Как видно (табл. 25), фактор Х1 изменяется в диапазоне - 0,41-0,6 (в натуральном виде от 46,7 до 49,0%), фактор Х2 изменяется в диапазоне - 0,74-1,5 (в натуральном виде от 6,52 до 11,0%). На факторной плоскости область изменения значений
факторов представляет собой прямоугольник с координатами (-0,41; -0,74); (-0,41; 1,5); (0,6; 1,5); (0,6; -0,74) (табл. 26). При этом в узловых точках прямоугольной области значения у1 и у2 в трёх случаях из четырёх выходят за границы области допустимых значений.
В связи с этим принято решение сузить диапазоны изменения факторов Х1, Х2 и сжать прямоугольную область оптимальных значений с целью вхождения параметров оптимизации в заданные диапазоны 118≤у1≤125 (кПа) и 35≤у2≤45 (мкм).

Таблица 26. Координаты области изменения значений факторов

Факторы		Функция отклика
Х1	Х2	у1, кПа	у2, мкм
-0,41	-0,74	>125	45
0,6	-0,74	>125	<35
-0,41	1,5	125	35
0,6	1,5	122	<35

Выбранные таким образом диапазоны составляют: для фактора Х1: -0,05 ÷ -0,4; для фактора Х2: -0,68 ÷ -0,52; фактор Х3 зафиксирован на основном уровне. При этом значение пластической прочности составляет 119-125 кПа, а дисперсности частиц карамельной массы размером от 0 до 5 мкм - 37-45%. Переходя от кодированных значений к натуральным, получим следующие оптимальные режимы приготовления карамельной массы (табл. 27).

Таблица 27. Оптимальные режимы приготовления
«мягкой» карамельной массы

Параметр	Обозначение	Значение
Массовая доля помадной массы, %	Х1	47,25-48,92
Массовая доля патоки, %	Х2	7,04-9,08
Массовая доля кокосового масла, %	Х3	5,5
Пластическая прочность карамельной массы, кПа	у1	119-125
Содержание фракций кристаллов в карамельной массе (от 0 до 5 мкм), %	у2	37-45